В словообразовательном смысле это слово мотивировано словом дуб (образовано от этого слова).
Бор – это именно сосновый лес, поэтому выражение березовый бор неправильно.
Оба написания корректны.
Это слово мужского рода (см. в окне «Искать на Грамоте»).